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Adenda del 8/11/14: Conjeturo que la suma máxima en el cuadrado de $n\times n$ es aproximadamente igual a $\frac{n^3}{2}$. Predigo en consecuencia que para 8x8 la suma máxima es aproximadamente igual a 256.
Comentario del 4/2/15: Marcos ha encontrado una suma máxima para 8x8 de 258, tal vez mi conjetura no sea tan acertada.
Adenda del 30/1/15: Al final de la entrada he agregado otra solución que me ha hecho llegar Marcos.
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En el movimiento cáscara de banana (1) una pieza resbala (hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda) tanto como le sea posible, es decir, hasta que llega al borde del tablero o hasta que choca contra una casilla anulada. En el primer desafío elegimos una casilla inicial cualquiera, colocamos una pieza y marcamos allí un 0 (las casillas donde anotamos números se convierten en anuladas). A continuación, comenzamos a mover la pieza anotando, cada vez, en la casilla de llegada cuál ha sido la distancia recorrida. Por ejemplo:
1) Que al trabarse el movimiento, la suma de los números sea la MENOR posible.
2) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MENOR posible.
3) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MAYOR posible.
Como segundo desafío transformamos este mecanismo en un juego para dos jugadores, digamos Alicia y Bruno. Alicia juega primero y elige una casilla inicial cualquiera (que queda anulada), luego Bruno desplaza la ficha y la casilla final queda igualmente anulada; así siguen hasta que el juego se traba. Quien haya hecho la última jugada, gana. Para tableros de 3x3, 4x4, 5x5,… la pregunta es: ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora? También podemos preguntarnos qué sucede en la versión de “el último que juega pierde”.
Nota:
(1) No sé si el mecanismo, pero sí su nombre, hasta donde conozco, se debe a Jaime Poniachik. [Según comentó Pablo Milrud en el propio encuentro, el mecanismo "cáscara de banana" -y tal vez también el nombre- serían en realidad creaciones de Iván Skvarca.]
Resumen de las soluciones recibidas hasta ahora (véanse más abajo los detalles):
Para la pregunta 1) la respuesta es 5 independientemente del tamaño del tablero, siempre que sea mayor que 2 (respuesta enviada por Rodolfo Kurchan).
Para las preguntas 2) y 3):
3x3: Mín = 12, Máx = 12. (Rodolfo Kurchan)
4x4: Mín = 23, Máx = 30. (Rodolfo Kurchan)
5x5: Mín = 41, Máx = 61. (Marcos Donnantuoni)
6x6: Mín = 68, Máx = 107. (Marcos Donnantuoni)
7x7: Mín = 99, Máx = 174. (Marcos Donnantuoni)
8x8: Mín = 142. Máx = 258. (Marcos Donnantuoni)
Para el juego de dos, Rodolfo demostró que en tableros de 3x3 y 5x5 gana el primero.
Detalles:
(26/10/14) Pocas horas después del evento, Rodolfo Kurchan envió estas soluciones:
Para la pregunta 1 me parece que para cualquier tablero de lado nxn (salvo 2x2 que es muy chico) se traba con suma 5:
.0.
11.
12.
Ésta es la "punta" de cualquier tablero, va de 0 a 2, al 1 de arriba, al 1 de la izquierda y al 1 de abajo.
Para las preguntas 2 y 3:
3x3 mínimo 12, máximo 12
4x4 mínimo 23, máximo 30
1131 0313
2011 2113
1113 3221
3211 3113
Para el juego:
Tablero de 3x3 y 5X5 gana el primero
...
.12
453
76...
OX...
891..
453..
..2..
X es la jugada 10 y O es la jugada 11 (si el segundo jugador luego de A5 va para abajo pierde en 7 movidas en lugar de en 11.
(29/10/14) Marcos Donnantuoni envía estas soluciones (aclara que sin garantía de que sean óptimas):
5x5 min
41← ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↓ → ↑ → ← ↑ ↓
2 3 1 1 1
1 1 2 2 4
1 0 1 2 1
4 1 1 2 1
1 1 4 1 2
5x5 max
61
↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ← → ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ↑ ← ↓
4 1 1 4 3
2 2 3 1 4
4 1 1 3 1
3 1 2 3 0
4 3 4 2 4
6x6 min
68
→ ↑ ↓ ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↑ → ← ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ → ↓ ← ↑ ← ↑ → ↓ ← ↓
1 1 1 2 4 3
5 3 3 1 1 1
1 3 1 1 2 2
1 2 1 3 0 1
5 1 1 1 3 1
1 1 5 1 1 3
107
↓ ← → ↑ ← ↓ → ↑ ← → ↓ ↑ → ↓ ← → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ ↓ → ↑ ← → ← ↑
4 3 5 2 5 0
5 1 3 4 4 3
3 1 2 1 2 1
5 3 2 1 4 1
4 2 4 3 3 5
5 1 1 5 4 5
7x7 min
102
↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ ↑ ↓ → ↓ ← → ↑ ← ↓ ↑ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ← ↑ → ↑ ↓ → ← ↑
2 3 6 1 1 6 1
1 1 1 2 4 4 1
2 2 2 1 2 1 2
6 4 1 1 2 1 1
2 1 1 4 1 2 3
1 1 4 3 0 1 5
3 2 1 1 1 1 2
7x7 max
172
← ↓ ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ← ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ ↓
6 6 6 1 2 4 0
5 3 4 5 3 5 6
3 4 1 2 2 2 6
6 1 3 1 2 4 2
1 5 3 1 1 3 6
5 2 1 4 3 4 3
6 5 2 6 5 6 5
(30/1/ 15) 8x8 max
250
→ ↑ ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ ↑ → ↓ ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← → ↓ → ↑ ← → ← → ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ←
5 4 4 1 7 6 6 7
4 2 1 6 5 4 6 5
7 5 3 4 2 4 1 2
1 6 2 2 1 2 4 7
3 2 3 1 1 3 5 7
7 5 2 3 3 4 1 4
6 3 1 1 6 5 5 6
0 7 3 7 2 4 7 7
99
1 6 1 1 2 6 1
1 4 4 1 2 4 1
1 3 1 1 1 2 6
2 1 1 3 1 1 3
4 2 2 0 2 3 1
3 1 1 1 1 1 2
1 1 2 2 2 1 4
↓↑←↓→←↑←↓→↓←↑←↓↑→↓←→↑→↓←↑→←↓→↓↑←↓→↑↓↑↓←↑↓←↓↑→↑→↑
7x7 max
174
0 4 2 6 4 6 6
4 5 5 4 2 4 5
6 4 2 2 3 1 2
1 5 1 1 2 1 6
3 4 1 3 3 3 6
6 2 3 5 2 4 4
6 6 6 1 1 5 6
→↓←→↑←↓↑→↓←↑↓→↑←↓→←↓→↑↓←→↑←↓↑→↓→↑←→←↓→↓←↑↓↑↓↑↓←↓
8x8 min
142
1 1 2 3 2 1 3 4
3 1 1 1 1 4 1 1
5 3 2 2 1 1 1 3
3 1 1 0 3 1 2 3
1 2 1 3 2 2 3 7
2 6 1 3 1 1 4 1
1 5 2 1 1 2 2 1
1 7 4 1 2 7 1 2
↑↓↑←↑→←↓←↑→↑←↓←↑↓↑→↑↓←→↑←→↓→←↑↓→↑←↑↓↑→↓→←↑←↓↑→←↓→←↑↓→↑←↓→↑←↓←↓↑
8x8 max
257
0 1 5 7 2 4 7 7
7 5 2 5 6 6 5 6
5 5 1 3 2 4 3 7
3 5 3 1 1 4 1 7
1 6 3 2 1 1 4 7
7 1 3 4 2 3 5 2
7 4 2 6 4 5 6 4
6 3 1 1 7 7 5 7
→↓↑←↓↑→↓←↑→↓←↑→←↓→↑↓↑←↑→↓↑↓←↑→↑←→↓←↑→↓↑←↓→↑←→←↑→↓←↓→↑↓↑↓↑↓↑→↓↑→
8x8 max
258
7 6 5 7 2 4 6 7
6 4 2 5 6 6 6 5
5 2 5 3 1 2 4 6
2 5 2 1 3 4 1 7
7 1 3 1 1 2 6 1
7 4 4 4 1 1 5 4
4 5 3 6 4 3 2 7
6 0 1 1 7 7 7 6
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1 comentario:
¡Muy bueno! Cuando tenga tiempo investigaré récords.
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